Hodnotenie:
V recenziách na knihu „Gödelov omyl“ od Ashisha Dalela sa stretávame s uznaním a kritikou. Čitatelia chvália knihu za jej podnetný pohľad na matematiku, pútavé rozprávanie a autorovu schopnosť sprístupniť zložité témy. Niektorí recenzenti však upozorňujú na problémy, ako sú chybné kroky vo vysvetľovaní, zložitosť, ktorá môže odradiť čitateľov bez silného matematického vzdelania, a pochybnosti o autorových interpretáciách Gödelovho diela.
Výhody:Poskytuje hlboký pohľad na základy matematiky a súvislosti s informatikou, predkladá originálne riešenia matematických problémov, zapája sa do historických diskusií v matematike, príjemné rozprávanie, podnetný a multidisciplinárny prístup.
Nevýhody:Pre niektorých čitateľov zložitá a abstraktná, obsahuje chybné a nejednoznačné vysvetlenia, predpokladá predchádzajúcu znalosť odborných termínov, niektorí čitatelia mali pocit, že sa odchyľuje od Gödelovho diela, nevhodná pre osoby bez teoretického matematického vzdelania.
(na základe 11 čitateľských recenzií)
Godel's Mistake: The Role of Meaning in Mathematics
Prečo je matematika neúplná?
Godelova veta o neúplnosti je základným výsledkom matematiky, ktorý dokazuje, že každá axiomatická teória čísel bude buď nekonzistentná, alebo neúplná. Turingov problém zastavenia je základným výsledkom v oblasti výpočtovej techniky, ktorý dokazuje, že počítače nemôžu vedieť, či sa program zastaví. Godelova chyba spája tieto teorémy s otázkou zmyslu. Kniha ukazuje, že dôkazy vznikajú v dôsledku zámeny kategórií medzi menami, pojmami, vecami, programami, algoritmami, problémami atď. Kniha tvrdí, že tieto problémy možno vyriešiť zavedením kategórií bežného jazyka v matematike.
V čom spočíva riešenie.
Riešenie tohto problému si podľa autora vyžaduje nový prístup k číslam, v rámci ktorého sa s číslami zaobchádza skôr ako s typmi než s veličinami. Vnímanie čísel ako typov si vyžaduje základný posun, pri ktorom sa objekty konštruujú z množín, a nie množiny z objektov. Keďže množiny označujú pojmy, tento posun znamená, že objekty sa vytvárajú z pojmov. Tým sa mení aj náš pohľad na časopriestor z lineárneho a otvoreného na hierarchický a uzavretý. V tomto hierarchickom opise sú objekty skôr symbolmi významu než fyzickými vecami. Autor nazýva túto teóriu teóriou typových čísel (TNT) a ukazuje, že typový pohľad na čísla je bez Godelovej neúplnosti a Turingovho haltingového problému.
Ako je táto kniha štruktúrovaná.
Kapitola 1: Mechanizácia myslenia - poskytuje prehľad matematických, filozofických, lingvistických a logických problémov, ktoré predchádzali Godelovým a Turingovým výsledkom, a ukazuje, že problémy, s ktorými sa stretávame v matematike, majú širší podtext presahujúci do iných oblastí vedy.
Kapitola 2: Godelov omyl - pojednáva o Godelovej vete o neúplnosti a Turingovom probléme zastavenia a ukazuje, ako ich dôkazy spočívajú na chybách v kategóriách. Kapitola tiež spája tieto teorémy s problematikou významu viet a programov. Tým sa vytvára motivácia pre alternatívne pohľady na čísla a programy, ktoré môžu byť bez paradoxov vznikajúcich bez sémantiky.
Kapitola 3: Matematika a realita - kapitola pojednáva o platónskom poňatí matematiky, ktoré udržiava idey a veci v oddelených svetoch, a tvrdí, že existujú v tom istom svete. Potreba ich spojenia mení náš pohľad na objekty, časopriestor, čísla a programy. Teraz sú objekty symbolmi a čísla a programy typmi. Diskutuje sa o dôsledkoch tohto pohľadu na karteziánsky problém mysle a tela a platónske oddelenie ideí a vecí.
Kapitola 4: Čísla a významy - rozvíja intuície o číslach ako typoch interpretáciou rôznych tried čísel - prirodzených čísel, nuly, záporných čísel, iracionálnych a racionálnych čísel a imaginárnych čísel - z hľadiska významov. V závere kapitoly je definovaný pojem teória typových čísel (TNT).
Kapitola 5: Matematické základy - kapitola kritizuje niektoré základné myšlienky v matematike vrátane logiky, teórie množín a teórie čísel a ukazuje, prečo je samotný pojem objektu ako niečoho, čo logicky predchádza myšlienkam, logicky nekonzistentný. Autor tvrdí, že čísla sú výsledkom rozlišovania a rozlišovanie si vyžaduje rozlišovanie. Základom matematiky preto nie je idea objektov a množín, ale povaha rozlišovania.
Kniha sa končí diskusiou o tom, že rozlišovanie má pôvod v povahe pozorovania, a základ matematiky možno preto vidieť v základných vlastnostiach vedomia, ktoré rozdeľuje a klasifikuje, aby mohlo poznávať.
