Derived Langlands: Monomial Resolutions of Admissible Representations
Langlandov program je jednou z najdôležitejších oblastí modernej čistej matematiky. Význam tohto zväzku spočíva v tom, že môže mnohé aspekty programu pretransformovať do úplne nového kontextu.
Napríklad morfizmy v monomickej kategórii lokálne p-adickej Lieovej grupy majú distribučný popis, ktorý je zásluhou Bruhata v jeho práci. Prípustné reprezentácie sa v programe často riešia prostredníctvom konvolučných algebier distribúcií a reprezentácií Heckeho algebier. Monomické vnorenie, zavedené v tejto knihe, elegantne spája tieto dve použitia teórie distribúcií.
Na túto aplikáciu autor nadväzuje podaním spracovania monomickej kategórie Bernsteinovho centra, klasifikovaného Deligne-Bernstein-Zelevinským.
Táto kniha poskytuje nové kategoriálne prostredie, v ktorom možno pristupovať k známym témam. Preto kontextom použitým na vysvetlenie príkladov je často všeobecnejšie prístupný prípad reprezentácií konečných všeobecných lineárnych grúp.
Napríklad Galoisova zmena bázy a epsilonové faktory pre lokálne p-adické Lieove grupy sú ilustrované analogickým Shintaniho zostupom, respektíve Kondo-Gaussovými sumami. Zdôrazňujú sa všeobecné lineárne grupy lokálnych polí. Keďže však filozofia tejto knihy je v podstate teóriou homotopie a algebraickou topológiou, obsahuje krátky dodatok, ktorý ukazuje, ako možno Bruhat-Titsove budovy, postačujúce pre všeobecnú lineárnu grupu, zovšeobecniť na tom Dieckove priestory (teraz známe ako Baumove-Connesove priestory), keď G je lokálne p-adická Lieova grupa.
Cieľom tejto monografie je opísať funktoriálne vnorenie kategórie prípustných k-reprezentácií lokálne profinitnej topologickej grupy G do odvodenej kategórie aditívnej kategórie kategórie prípustných k-monomických modulov. Znalcov Langlandsovho programu môže zaujímať, že keď G je lokálne p-adická Lieova grupa, kategória monomických modulov úzko súvisí s kategóriou topologických modulov nad akousi rozšírenou Heckeho algebrou s generátormi zodpovedajúcimi znakom na kompaktných otvorených moduloch stredových podgrup G. Po vytvorení tohto funktoriálneho vnorenia sa skúma, ako sa zložky slávneho Langlandsovho programu adaptujú na kontext odvodenej kategórie monomických modulov.
Patria sem automorfné reprezentácie, epsilonové faktory a L-funkcie, modulárne formy, Weil-Deligneove reprezentácie, zmena Galoisovej bázy a Heckeho operátory.
