Recenzie čitateľov
Momentálne nie sú žiadne recenzie čitateľov. Hodnotenie je založené na 73 hlasoch.
Pôvodný názov:
Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes
Obsah knihy:
Tento učebný text predstavuje úvod do diferenciálnej geometrie pre študentov matematiky a fyziky. Výklad sleduje historický vývoj pojmov spojitosti a krivosti s cieľom vysvetliť Chern-Weilovu teóriu charakteristických tried na hlavnom zväzku. Popri tom sa stretávame s niektorými vrcholnými bodmi histórie diferenciálnej geometrie, napríklad s Gaussovou Egregiovou teóriou a Gaussovou-Bonnetovou vetou. Cvičenia v celej knihe preverujú čitateľovo porozumenie materiálu a niekedy ilustrujú rozšírenia teórie. Na začiatku je potrebné, aby čitateľ mal aspoň zbežné znalosti o mnohouholníkoch. Po prvej kapitole sa stáva nevyhnutným porozumieť diferenciálnym formám a manipulovať s nimi. V poslednej tretine textu sa vyžaduje znalosť de Rhamovej kohomológie.
Predpokladaný materiál je obsiahnutý v autorovom texte An Introduction to Manifolds a dá sa zvládnuť za jeden semester. V záujme čitateľa a zavedenia spoločných zápisov sa v prílohe A pripomínajú základy teórie mnohovrstvového systému. Okrem toho sú v snahe urobiť výklad samostatnejším zahrnuté časti o algebraických konštrukciách, ako sú tenzorový súčin a vonkajšia mocnina.
Diferenciálna geometria, ako už jej názov napovedá, je štúdium geometrie pomocou diferenciálneho počtu. Jej počiatky siahajú do sedemnásteho storočia k Newtonovi a Leibnizovi, ale až v devätnástom storočí, v súvislosti s prácou Gaussa o plochách a Riemanna o tenzore krivosti, došlo k rozkvetu diferenciálnej geometrie a k položeniu jej moderných základov. Za posledných sto rokov sa diferenciálna geometria ukázala ako nevyhnutná pre pochopenie fyzikálneho sveta, v Einsteinovej všeobecnej teórii relativity, v teórii gravitácie, v teórii merania a teraz v teórii strún. Diferenciálna geometria je okrem iného užitočná aj v topológii, viacerých komplexných premenných, algebraickej geometrii, komplexných mnohovrstvách a dynamických systémoch. Táto oblasť dokonca našla uplatnenie v teórii skupín, ako v Gromovovej práci, a v teórii pravdepodobnosti, ako v Diaconisovej práci. Nie je príliš nadnesené tvrdiť, že diferenciálna geometria by mala patriť do arzenálu každého matematika.
