Parciálne diferenciálne rovnice

Pôvodný názov:

Partial Differential Equations

Obsah knihy:

Ide o prepracovanú a rozšírenú verziu môjho základného úvodu do parciálnych diferenciálnych rovníc z roku 1995. Materiál je v podstate rovnaký s výnimkou troch nových kapitol.

Prvá (kapitola 8) sa zaoberá nelineárnymi rovnicami prvého rádu a najmä Hamiltonovými-Jacobiho rovnicami. Vychádza z pretrvávajúcej myšlienky, že PDE, hoci sú odvetvím matematickej analýzy, úzko súvisia s modelmi fyzikálnych javov. Takéto základné fyzikálne javy zasa poskytujú predstavy o riešiteľnosti.

Hopfov variačný prístup ku Cauchyho problému pre Hamiltonove-Jacobiho rovnice je jedným z najjasnejších a najvýstižnejších príkladov takejto súhry.

Metóda je dokonalou kombináciou klasickej mechaniky prostredníctvom úlohy a vlastností Lagrangea a Hamiltoniána a variačného počtu. Chúlostivou otázkou je identifikácia tzv.

tried jedinečnosti. " Bola vykonaná e? ortácia na extrakciu geometrických podmienok na grafe riešení, ako je kvázi konkávnosť, aby platila jednoznačnosť. Kapitola 9 je úvodom do slabých formulácií, Sobolevových priestorov a priamych variačných metód pre lineárne a kvázi-linearelliptické rovnice.

Aj keď je stručná, materiál o Sobolevových priestoroch je primerane úplný, aspoň pre používateľa PDE. Obsahuje všetky základnétvrdenia o Soboleových priestoroch vrátane ich dôkazov a teórie stôp. Slabé formulácie Dirichletových a Neumannových problémov vychádzajú z tohto materiálu.

V ich slabom rámci sú prezentované súvisiace variačné a Galerkinove metódy, ako aj problémy vlastných hodnôt.