Základná príručka k problémom jednoznačnosti pre evolučné diferenciálne rovnice

Pôvodný názov:

A Basic Guide to Uniqueness Problems for Evolutionary Differential Equations

Obsah knihy:

Táto kniha sa zaoberá otázkou jedinečnosti riešenia problému - veľmi dôležitou témou vo vede a technike, najmä v oblasti parciálnych diferenciálnych rovníc, kde jedinečnosť zaručuje, že určité parciálne diferenciálne rovnice sú dostatočné na modelovanie daného javu.

Táto kniha má byť krátkym úvodom do otázok jedinečnosti problémov počiatočných hodnôt. Často sa oslabuje pojem riešenia tak, aby zahŕňal aj nediferencovateľné riešenia. Takéto riešenie sa nazýva slabé riešenie. Je jednoduchšie nájsť slabé riešenie, ale je ťažšie určiť jeho jednoznačnosť. Táto kniha skúma tri veľmi základné rovnice: obyčajné diferenciálne rovnice, skalárne zákony zachovania a Hamiltonove-Jacobiho rovnice. Vychádzajúc zo štandardnej Gronwallovej nerovnice sa v tejto knihe rozoberajú menej regulárne obyčajné diferenciálne rovnice. Obsahuje úvod do pokročilých tém, ako je teória maximálnych monotónnych operátorov, ako aj tzv. teória DiPerna-Lions, ktorá je stále aktívnou oblasťou výskumu. Pri zákonoch zachovania je vysvetlená jednoznačnosť entropického riešenia, špeciálne (nespojité) slabé riešenie. Pre Hamiltonove-Jacobiho rovnice je stanovených niekoľko výsledkov jednoznačnosti pre viskozitné riešenie, druh nediferencovateľného slabého riešenia. Diskutuje sa aj o jednoznačnosti nespojitého viskozitného riešenia. Pre každé tvrdenie o jedinečnosti je uvedený podrobný dôkaz.

Čitateľ by si mal osvojiť rôzne základné myšlienky a techniky matematickej analýzy parciálnych diferenciálnych rovníc prostredníctvom stanovenia jednoznačnosti. Nie sú potrebné žiadne iné predpoklady okrem jednoduchých výpočtov a lineárnej algebry. Pre pohodlie čitateľa je na konci tejto knihy uvedený zoznam základnej terminológie.