Úvod do stochastických procesov

Pôvodný názov:

Introduction to Stochastic Processes

Obsah knihy:

Cieľom tejto knihy je predstaviť prvky stochastických procesov pomerne stručným spôsobom, pričom uvádzame dve najdôležitejšie časti - Markovove reťazce a stochastickú analýzu. Čitateľov privedieme priamo k jadru hlavných tém, ktoré sa budú v tejto súvislosti spracúvať.

Ďalšie podrobnosti a doplnkové materiály sú ponechané na časť obsahujúcu bohaté cvičenia na ďalšie čítanie a štúdium. V časti o Markovových reťazcoch sa pozornosť sústreďuje na ergodicitu. Pomocou metódy minimálneho nezáporného riešenia sa zaoberáme rekurenciou a rôznymi typmi ergodicity.

Postupuje sa postupne od konečných stavových priestorov k denumerabilným stavovým priestorom a od diskrétneho času k spojitému času.

Metódy dôkazov využívajú moderné techniky, ako sú metódy spojenia a duality. Zahrnuté sú niektoré veľmi nové výsledky, ako napríklad odhad spektrálnej medzery.

Štruktúra a dôkazy v prvej časti sú dosť odlišné od iných existujúcich učebníc o Markovových reťazcoch. V časti o stochastickej analýze sa zaoberáme teóriou martingalov a Brownových pohybov, stochastickým integrálom a stochastickými diferenciálnymi rovnicami s dôrazom na jeden rozmer a viacrozmerným stochastickým integrálom a stochastickou rovnicou založenou na semimartingaloch. Uvádzame tu tri dôležité témy: Feynmanovu-Kacovu formulu, transformáciu náhodného času a Girsanovovu transformáciu.

Ako podstatnú aplikáciu teórie pravdepodobnosti v klasickej matematike riešime aj slávnu Brunnovu-Minkowského nerovnosť v konvexnej geometrii. V tejto knihe nájdete aj modernú teóriu pravdepodobnosti, ktorá sa využíva v rôznych oblastiach, napríklad v MCMC, alebo aj v deterministických oblastiach: konvexnej geometrii a teórii čísel. Poskytuje nový a priamy postup pre študentov, ktorí prechádzajú cez klasické Markovove reťazce k modernej stochastickej analýze.