Spektrálna teória operátorov v Hilbertovom priestore

Pôvodný názov:

Spectral Theory Of Operators In Hilbert Space

Obsah knihy:

Cieľom týchto prednášok je poskytnúť úvod do spektrálnej analýzy samospojitých operátorov v rámci teórie Hilbertovho priestoru. Hlavným pojmom v tomto prístupe je pojem spektrálnej reprezentácie.

Zároveň je zdôraznený pojem funkcie operátora. Definícia Hilbertovho priestoru: V matematike je Hilbertov priestor reálny alebo komplexný vektorový priestor s pozitívne definovanou hermitovskou formou, ktorý je úplný podľa svojej normy. Je to teda priestor vnútorného súčinu, čo znamená, že má pojmy vzdialenosti a uhla (najmä pojem ortogonálnosti alebo kolmosti).

Požiadavka úplnosti zabezpečuje, že pre nekonečne rozmerné Hilbertove priestory existujú limity, keď sa to očakáva, čo uľahčuje rôzne definície z kalkulu. Typickým príkladom Hilbertovho priestoru je priestor štvorcových súčtov postupností.

Hilbertove priestory umožňujú aplikovať jednoduché geometrické pojmy, ako je premietanie a zmena základu, na nekonečne rozmerné priestory, napríklad priestory funkcií. Poskytujú kontext, pomocou ktorého možno formalizovať a zovšeobecniť pojmy Fourierovho radu v termínoch ľubovoľných ortogonálnych polynómov a Fourierovej transformácie, ktoré sú ústrednými pojmami funkčnej analýzy.

Hilbertove priestory majú zásadný význam pri matematickej formulácii kvantovej mechaniky.