Reziduálne mriežky: Algebraický pohľad na subštrukturálnu logiku: zväzok 151

Recenzie čitateľov

Momentálne nie sú žiadne recenzie čitateľov. Hodnotenie je založené na 2 hlasoch.

Pôvodný názov:

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151

Obsah knihy:

Kniha má slúžiť na dva účely. Prvým a zjavnejším je prezentovať najnovšie výsledky algebraického výskumu reziduálnych štruktúr súvisiacich so subštrukturálnou logikou. Druhým, menej zrejmým, ale rovnako dôležitým cieľom je poskytnúť primerane jemný úvod do algebraickej logiky. Na začiatku prevláda druhý cieľ. V prvých kapitolách tak čitateľ nájde základ univerzálnej algebry pre logikov, rýchlokurz neklasickej logiky pre algebraikov, úvod do reziduálnych štruktúr, náčrt kalkúl Gentzenovho typu, ako aj niekoľko zaujímavostí z teórie dôkazov - medzi nimi aj slávny Hauptsatz alebo vetu o eliminácii rezu. Tie prirodzene vedú k diskusii o vzájomných súvislostiach medzi logikou a algebrou, kde sa snažíme ukázať, ako tvoria dve strany tej istej mince. Predpokladáme, že úvodné kapitoly by sa mohli použiť ako učebnica pre postgraduálny kurz, možno s názvom Algebra a subštrukturálna logika.

V priebehu knihy prvý cieľ prevažuje nad druhým. Hoci presný bod rovnováhy by bolo ťažké špecifikovať, možno povedať, že do technickej časti vstupujeme diskusiou o rôznych dostavbách zvyškových konštrukcií. Medzi ne patria Dedekindove-McNeillove doplnenia a kanonické rozšírenia. Kompletizácie sa neskôr využívajú pri skúmaní viacerých vlastností konečnosti, ako je vlastnosť konečného modelu, generovanie variet ich konečnými členmi a konečná vnoriteľnosť. Algebraická analýza eliminácie rezov, ktorá nasleduje, tiež využíva kompletizácie. Nasleduje decidabilita logík, rovnostárskych a kvázirovnostárskych teórií, kde ukážeme, že teoretické metódy dôkazu, ako je eliminácia rezu, sú vhodnejšie pre malé logiky/teórie, ale sémantické nástroje, ako je Rabinova veta, fungujú lepšie pre veľké logiky. Potom prejdeme ku Glivenkovej vete, ktorá hovorí, že formula je intuicionistickou tautológiou vtedy a len vtedy, ak jej dvojitá negácia je klasická. Zovšeobecníme ju na subštrukturálne prostredie, pričom pre každú subštrukturálnu logiku určíme jej Glivenkovu triedu ekvivalencie s najmenším a najväčším prvkom. Tu tiež začíname skúmať mriežky logík a variet, a nie konkrétne príklady. V tomto duchu pokračujeme prezentáciou viacerých výsledkov týkajúcich sa minimálnych variet/maximálnych logík.

Typická veta hovorí, že pre nejakú známu varietu má jej podvarieta presne taký a taký počet minimálnych členov (pričom hodnoty pre taký a taký zahŕňajú okrem iného spojité, spočítateľné množstvo a dva). V posledných dvoch kapitolách sa zameriame na mriežku variet zodpovedajúcu logikám bez kontrakcie. V jednej z nich dokážeme negatívny výsledok: že v tejto variete neexistujú netriviálne rozštiepenia. V druhej dokazujeme pozitívny: že semisimple variety sa zhodujú s diskriminátorovými.

V druhej, odbornejšej časti knihy možno sledovať ďalší proces prechodu. Začíname totiž logicky orientovanými technickými otázkami a končíme algebraicky orientovanými otázkami. Tu azda algebraické stvárnenie Glivenkových teorém označuje rovnovážny bod, aspoň v tom zmysle, že vlastnosti konečnosti, rozhodnuteľnosť a Glivenkove teorémy sú pre logikov jednoznačne zaujímavé, zatiaľ čo semisimplicita a diskriminačné variety sú univerzálnou algebrou par exellence. Je na čitateľovi, aby posúdil, či sa nám podarilo tieto nitky utkať do súvislej látky.