Polyfold a Fredholmova teória

Pôvodný názov:

Polyfold and Fredholm Theory

Obsah knihy:

Táto kniha je priekopníkom nelineárnej Fredholmovej teórie vo všeobecnej triede priestorov nazývaných polyfoldy. Teória zovšeobecňuje niektoré aspekty nelineárnej analýzy a diferenciálnej geometrie a kombinuje ich so štipkou teórie kategórií, aby zahrnula lokálne symetrie. Z diferenciálnej geometrie kniha zavádza veľkú triedu hladkých' priestorov a zväzkov, ktoré môžu mať lokálne premenlivé rozmery (konečné alebo nekonečne rozmerné). Tieto zväzky prichádzajú s dôležitou triedou úsekov, ktoré vykazujú vlastnosti pripomínajúce klasickú nelineárnu Fredholmovu teóriu a umožňujú tvrdenia o implicitných funkciách. V rámci tejto nelineárnej analýzy sa rozvíja univerzálna teória transverzality a perturbácie, ktorá pokrýva aj ekvivaritné nastavenia.

Teória prezentovaná v tejto knihe vznikla na podnet autorov v rokoch 2007 - 2010, pričom jej motiváciou boli nelineárne moduly v symplektickej geometrii. Takéto problémy sa zvyčajne lokálne opisujú ako nelineárne eliptické systémy a musia sa študovať až po pojem izomorfizmu. To zavádza symetrie, pretože takýto systém môže byť izomorfný sám sebe rôznymi spôsobmi. Bublinové javy sú bežné a musia byť úplne pochopené, aby sa vytvorili algebraické invarianty. To si vyžaduje teóriu transverzality pre bubbling-off javy v prítomnosti symetrií. Veľmi často, dokonca aj v konkrétnych aplikáciách, nie sú geometrické poruchy dostatočne všeobecné na dosiahnutie transverzality a je potrebné uvažovať abstraktné poruchy. Táto teória sa už úspešne uplatňuje v zamýšľaných aplikáciách v symplektickej geometrii a mala by nájsť uplatnenie v mnohých ďalších oblastiach, kde sa stretávajú parciálne diferenciálne rovnice, geometria a funkcionálna analýza.

Kniha Polyfold a Fredholmova teória, napísaná jej pôvodcami, je autoritatívnym a komplexným pojednaním o teórii polyfoldov. Bude neoceniteľná pre výskumníkov, ktorí študujú nelineárne eliptické problémy vznikajúce v geometrických súvislostiach.