Náhodné matice a nekomutatívna pravdepodobnosť

Pôvodný názov:

Random Matrices and Non-Commutative Probability

Obsah knihy:

Toto je úvodná kniha o nekomutatívnej pravdepodobnosti alebo voľnej pravdepodobnosti a veľkorozmerných náhodných maticiach. Základné pojmy voľnej pravdepodobnosti sú v nej zrozumiteľne a rýchlo predstavené analogicky s klasickou pravdepodobnosťou. Potom rozvíja výsledky o konvergencii veľkorozmerných náhodných matíc so špeciálnym zameraním na zaujímavé súvislosti s voľnou pravdepodobnosťou. Kniha z väčšej časti nepredpokladá takmer žiadne predpoklady. Užitočná však bude znalosť základných pojmov konvergencie v pravdepodobnosti a trochu matematickej vyspelosti.

⬤ Kombinatorické vlastnosti neprechodných rozdelení vrátane Mbiusovej funkcie zohrávajú ústrednú úlohu pri predstavovaní voľnej pravdepodobnosti.

⬤ Voľná nezávislosť je definovaná prostredníctvom voľných kumulantov analogicky k definícii klasickej nezávislosti prostredníctvom klasických kumulantov.

⬤ Voľné kumulanty sa zavádzajú prostredníctvom Mbiusovej funkcie.

⬤ Priestory pravdepodobnosti voľných súčinov sa konštruujú pomocou voľných kumulantov.

⬤ Diskutuje sa o marginálnej a spoločnej traciálnej konvergencii veľkorozmerných náhodných matíc, ako sú Wignerova, eliptická, výberová kovariancia, krížová kovariancia, Toeplitzova, cirkulantná a Hankelova matica.

⬤ Konvergencia empirického spektrálneho rozdelenia je diskutovaná pre symetrické matice.

⬤ Podrobne sa rozoberajú výsledky asymptotickej voľnosti pre náhodné matice vrátane niektorých najnovších výsledkov. Tieto objasňujú štruktúru limitov pre spoločnú konvergenciu náhodných matíc.

⬤ Asymptotická voľnosť kovariančných matíc nezávislých vzoriek je tiež preukázaná prostredníctvom vloženia do Wignerových matíc.

⬤ V každej kapitole sú uvedené cvičenia na úrovni pokročilých študentov a absolventov.