Modelling and Simulation of Stochastic Volatility in Finance
Slávny Black-Scholesov model bol východiskovým bodom nového finančného odvetvia a odvtedy je veľmi dôležitým pilierom všetkých obchodov s opciami. Jedným z jeho základných predpokladov je, že volatilita podkladového aktíva je konštantná.
Čoskoro sa zistilo, že je potrebné špecifikovať dynamiku samotnej volatility, aby sme sa priblížili správaniu trhu. Túto skutočnosť zviditeľňujú najmä dva aspekty. Pri zohľadnení historického vývoja volatility analýzou časových radov údajov sa pozoruje nestále správanie v čase.
Po druhé, ak vyjmeme implikovanú volatilitu z denne obchodovaných opcií, volatilita sa mení v závislosti od striku. Najbežnejšou realizáciou tohto javu je implikovaný úsmev volatility alebo skew.
Vzniká prirodzená otázka, ako vhodne rozšíriť Black-Scholesov model. V rámci tejto knihy sa analyzuje a diskutuje koncept stochastickej volatility so zvláštnym zreteľom na numerické problémy vyskytujúce sa buď pri kalibrácii modelu na povrch trhovej implikovanej volatility, alebo pri numerickej simulácii dvojrozmerného systému stochastických diferenciálnych rovníc potrebných na oceňovanie nevanilkových finančných derivátov.
Zavádzame nový stochastický model volatility, takzvaný Hyp-Hyp model, a používame Watanabeho kalkul na nájdenie analytickej aproximácie implikovanej volatility modelu. Ďalej sa analyzuje trieda afinných difúznych modelov, ako je Heston, z hľadiska použitia charakteristickej funkcie a Fourierových inverzných techník na ocenenie európskych derivácií.