Inverse Scattering Problems and Their Application to Nonlinear Integrable Equations
Inverse Scattering Problems and Their Applications to Nonlinear Integrable Equations, Second Edition je venovaná inverzným problémom rozptylu (ISP) pre diferenciálne rovnice a ich aplikáciám na nelineárne evolučné rovnice (NLEE). Kniha je vhodná pre každého, kto má matematické vzdelanie a zaujíma sa o funkcionálnu analýzu, diferenciálne rovnice a rovnice matematickej fyziky. Kniha je určená pre širokú komunitu, ktorá sa zaoberá ISP a ich aplikáciami. Tradične silná komunita je najmä v oblasti matematickej fyziky.
V tejto monografii sú problémy prezentované krok za krokom a pri uvažovaných problémoch sú uvedené podrobné dôkazy, aby boli témy prístupnejšie študentom, ktorí k nim pristupujú po prvýkrát.
Novinka v druhom vydaní.
⬤ Úplne nová kapitola zaoberajúca sa Bcklundovými transformáciami medzi spoločným riešením oboch lineárnych rovníc v Laxovej dvojici a riešením súvisiacej IBVP pre NLEE na polpriamke.
⬤ Aktualizované odkazy a záverečné poznámky.
Vlastnosti
⬤ Riešenie priameho a ISP a následné riešenie súvisiaceho problému počiatočných hodnôt (IVP) alebo problému počiatočných hraničných hodnôt (IBVP) pre NLEE sa vykonáva krok za krokom. Neznáme okrajové hodnoty sa vypočítajú pomocou Laxových (zovšeobecnených) rovníc, potom sa vyjadria časovo závislé údaje o rozptyle (SD) v zmysle vopred zadaných počiatočných a okrajových podmienok. Týmto spôsobom sa potenciálové funkcie obnovujú jednoznačne v zmysle zadaných počiatočných a vypočítaných okrajových podmienok. Je dokázaná jednoznačná riešiteľnosť ISP a SD rozptylového problému sú kompletne opísané. Uvažované ISP sú dobre riešiteľné.
⬤ ISP sú vhodne nastavené na konštrukciu Bӓckhundových transformácií (BT) pre riešenia súvisiacich IBVP alebo IVP pre NLEE. Postup na získanie BT pre IBVP pre NLEE na polpriamke sa líši od postupu na získanie BT pre nelineárne diferenciálne rovnice definované v celom priestore.
⬤ Vzájomné vzťahy medzi ISP a skonštruovanými BT sú vytvorené tak, aby sa stali novými výkonnými zjednotenými transformáciami (UT) na riešenie IBVP alebo IVP pre NLEE, ktoré sa dajú použiť v rôznych oblastiach fyziky a mechaniky. Aplikácia UT je konzistentná a efektívne zakomponovaná do schémy pridruženého ISP.