Geometria skupiny symplektického diferenciálu

Pôvodný názov:

The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism

Obsah knihy:

Skupina hamiltonovských diffeomorfizmov Ham(M, 0) symplektického manévru (M, 0) zohráva základnú úlohu v geometrii aj klasickej mechanike. Pre geometra je to, aspoň za určitých predpokladov o manifolde M, práve spojitá zložka identity v grupe všetkých symplektických diffeomorfizmov.

Z hľadiska mechaniky je Ham(M, O) grupa všetkých prípustných pohybov. Aké minimálne množstvo energie je potrebné na vygenerovanie daného Hamiltonovho difomorfizmu I? Pokus o formalizáciu a zodpovedanie tejto prirodzenej otázky viedol H. Hofera HI) (1990) k pozoruhodnému objavu.

Ukázalo sa, že riešenie tohto variačného problému možno interpretovať ako geometrickú veličinu, a to ako vzdialenosť medzi I a transformáciou identity. Navyše táto vzdialenosť je spojená s kanonickou biinvariantnou metrikou na Ham(M, 0).

Od Hoferovej práce sa táto nová ge- ometria intenzívne študuje v rámci modernej symplektickej topológie. V tejto knihe opíšem niektoré z týchto zmien.

Hoferova geometria nám umožňuje študovať rôzne pojmy a problémy, ktoré pochádzajú zo známej geometrie konečných rozmerov v kontexte skupiny Hamiltonových diferenciálnych diferenciálov. Ukázalo sa, že sú veľmi odlišné od bežného okruhu problémov, ktoré sa uvažujú v symplektickej topológii, a tak významne rozširujú náš pohľad na symplektický svet.