Hodnotenie:
Kniha je všeobecne dobre prijímaná ako sprievodný text k Hartshornovej knihe o algebraickej geometrii, chválená najmä pre svoju prehľadnosť v teórii schém a zameranie na aritmetické aplikácie. Bolo však poznamenané, že niektoré dôkazy by mohli byť jasnejšie a niektoré dôležité témy nie sú dostatočne pokryté.
Výhody:⬤ Vynikajúci doplnok k Hartshornovej knihe
⬤ jasné a zasvätené vysvetlenia
⬤ množstvo konkrétnych príkladov a protipríkladov
⬤ prispôsobené pre aritmetické myslenie
⬤ poskytuje dobrý základ v teórii schém
⬤ čitateľnejší ako Hartshornova kniha
⬤ podstatný obsah v porovnaní so Shafarevichovou knihou.
⬤ Niektoré dôkazy nie sú jasné a sú podané ad hoc spôsobom
⬤ niektoré dôležité témy nie sú dostatočne pokryté
⬤ neodkazuje na staršie jazyky
⬤ neskoršie časti sa spoliehajú na citované výsledky komutatívnej algebry
⬤ niektorí používatelia odporúčajú pre komplexné pochopenie doplniť ju Hartshornom alebo inými prácami.
(na základe 6 čitateľských recenzií)
Algebraic Geometry and Arithmetic Curves
Toto nové brožované vydanie poskytuje všeobecný úvod do algebraickej a aritmetickej geometrie, začínajúc teóriou schém, po ktorej nasledujú aplikácie na aritmetické povrchy a teóriu redukcie algebraických kriviek.
V prvej časti sa uvádzajú základné objekty, ako sú schémy, morfizmy, zmena bázy, lokálne vlastnosti (normalita, regularita, Zariskiho hlavná veta). Potom nasleduje globálnejší aspekt: koherentné snopy a veta o konečnosti pre ich kohomologické grupy. Potom nasleduje kapitola o diferenciálnych vlnách, dualizujúcich vlnách a Grothendieckovej teórii duality. Prvá časť sa končí Riemann-Rochovou vetou a jej aplikáciou na štúdium hladkých projektívnych kriviek nad poľom. Singulárne krivky sú spracované prostredníctvom podrobného štúdia Picardovej grupy.
Druhá časť sa začína vyfukovaním a desingularizáciou (vloženou alebo nevloženou) vláknitých plôch nad Dedekindovým prstencom, ktorá vedie k teórii priesečníkov na aritmetických plochách. Dokazuje sa Castelnuovo kritérium a tiež existencia minimálneho regulárneho modelu. To vedie k štúdiu redukcie algebraických kriviek. Podrobne sa študuje prípad eliptických kriviek. Kniha sa uzatvára základnou vetou o stabilnej redukcii Deligne-Mumforda.
Táto kniha je v podstate samostatná, vrátane potrebného materiálu o komutatívnej algebre. Predpokladov je málo a vrátane mnohých príkladov a približne 600 cvičení je kniha ideálna pre študentov postgraduálneho štúdia.